Chọn A

Đáp án B

Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD. Ta chứng minh G là tâm mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện.

Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD, BC, AD, AC, BD.

Ta có G là trung điểm của các đoạn MN, PQ, RS.

  Δ A C D = Δ B C D ⇒ A N = B N ⇒ Δ N A B cân tại N  ⇒ M N ⊥ A B

Tương tụ ta có  M N ⊥ C D .

Ta có: P Q = R S = M N = A N 2 − A M 2 = a 3 2 2 − a 2 4 = a 2 2 .

Suy ra  d G , A B = d G , C D = 1 2 M N = a 2 4 .

Chứng minh tương tự ta có  d G , A C = d G , A D = d G , B D = d G , B C = a 2 4

Vậy G là tâm mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện ABCD.

Bán kính mặt cầu R = a 2 4 . Suy ra thể tích khối cầu là  V = 4 3 π R 3 = 4 3 π a 2 4 3 = 2 π a 3 24 .

Đáp án A

Phương pháp:

Đáp án A

Phương pháp: Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp tam giác đều.

B1: Xác định hai trục của hai mặt phẳng bất kì (đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với đáy).

B2: Xác định giao điểm I của hai trục đó. Khi đó I là tâm mặt cầu cần tìm.

Cách giải: Gọi O và O’ lần lượt là tâm tam giác đều ABC và ACD thì   D O ⊥ A B C ; B O ' ⊥ A C D

Gọi I = D O ∩ B O ' , ta dễ dạng chứng minh được I là tâm mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện đều.

Và R = IF là bán kính mặt cầu đó.

Kẻ BB’ qua I và song song với BD.

Chọn A

Đáp án B

Gọi M là trung điểm của BC khi đó  D M ⊥ B C A M ⊥ B C

Suy ra  B C ⊥ ( D M A ) ⇒ D B C ; A B C ^ = 60 °

Lại có  D M = A M = a 3 2

Dựng  D H ⊥ A M ⇒ D H ⊥ ( A B C )

Khi đó V A B C D = 1 3 D H . S A B C = 1 3 D M . sin 60 ° . a 2 3 4 = a 2 3 16 .

Đáp án B